2022年考研数学复习指导：三大科目易错点分析

2022年考研数学复习指导：三大科目易错点分析

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　　2022年考研数学复习指导：三大科目易错点分析

　　高等数学

　　1.函数在一点处极限存在，连续，可导，可微之间关系。对于一元函数函数连续是函数极限存在的充分条件。若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。若函数在某点不连续，则该函数在该点不一定无极限。若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续，可导与可微等价。而对于二元函数，只能又可微推连续和可导(偏导都存在)，其余都不成立。

　　2.基本初等函数与初等函数的连续性：基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。

　　3.极值点，拐点。驻点与极值点的关系：在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点，而函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。注意极值点和拐点的定义一充、二充、和必要条件。

　　4.夹逼定理和用定积分定义求极限。这两种方法都可以用来求和式极限，注意方法的选择。还有夹逼定理的应用，特别是无穷小量与有界量之积仍是无穷小量。

　　5.可导是对定义域内的点而言的，处处可导则存在导函数，只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其它各处均可导。

　　6.泰勒中值定理的应用，可用于计算极限以及证明。

　　7.比较积分的大小。定积分比较定理的应用(常用画图法)，多重积分的比较，特别注意第二类曲线积分，曲面积分不可直接比较大小。

　　8.抽象型的多元函数求导，反函数求导(高阶)，参数方程的二阶导，以及与变限积分函数结合的求导

　　9.广义积分和级数的敛散性的判断。

　　10.介值定理和零点定理的应用。关键在于观察和变换所要证明等式的形式，构造辅助函数。

　　11.保号性。极限的性质中最重要的就是保号性，注意保号性的两种形式以及成立的条件。

　　12.第二类曲线积分和第二类曲面积分。在求解的过程中一般会使用格林公式和高斯公式，大部分同学都会把精力关注在是否闭合，偏导是否连续上，而忘记了第三个条件——方向，要引起注意。

　　线性代数

　　1、行列式的计算。行列式直接考察的概率不高，但行列式是线代的工具，判定系数矩阵为方阵的线性方程组解的情况及特征值的计算都会用到行列式的计算，故要引起重视。

　　2、矩阵的变换。矩阵是线代的研究对象，线性方程组、特征值与特征向量、相似对角化，二次型，其实都是在研究矩阵。一定要注意在化阶梯型时只能对矩阵做行变换，不可做列变换变换。

　　3、向量和秩。向量和秩比较抽象，也是线代学习的重点和难点，研究线性方程组解的情况其实就是在研究系数矩阵的秩，也是在研究把系数矩阵按列分块得到的向量组的秩。

　　4、线性方程组的解。线性方程组是每年的必看知识点，要熟练掌握线性方程组解的结构问题，核心是理解基础解系，要能够掌握具体方程组的数列方法，更要能熟练解决抽象型方程组，一般会转化为系数矩阵的秩或者基础解，然后解决问题。

　　5、特征值与特征向量。特征值与特征向量起到承前启后的作用，一特征值对应的特征向量其实就是其对应矩阵作为系数矩阵的齐次线性方程组的基础解系，其重要应用就是相似对角化及正交相似对角化，是后面二次型的基础。

　　6、相似对角化，包括相似对角化及正交相似对角化。要会判断是否可以相似对角化，及正交相似对角化时，怎么施密特正交化和单位化。

　　7、二次型。二次型是线代的一个综合型章节，会用到前面的很多知识。要熟练掌握用正交变换化二次型为标准形，二次型正定的判定，及惯性指数。

　　8、矩阵等价及向量组等价的充要条件，矩阵等价，相似，合同的条件。

　　概率论与数理统计

　　1、非等可能 与
等可能。若一次随机实验中可能出现的结果有N个，且所有结果出现的可能性都相等，则每一个基本事件的概率都是1/N;若其中某个事件A包含的结果有M个，则事件A的概率为M/N。

　　2、互斥与对立
对立一定互斥，但互斥不一定对立。若A，B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B对立，则满足(1)A∩B=空集;(2)P(A+B)=1。

　　3、互斥与独立。若A，B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B独立，则P(AB)=P(A)P(B);概率为0或者1的事件与任何事件都独立

　　4、排列与组合。排列与顺序有关，组合与顺序无关，同类相乘有序，不同类相乘无序。

　　5、不可能事件与概率为零的随机事件。
不可能事件的概率一定为零,但概率为零的随机事件不一定是不可能事件，如连续型随机变量在任何一点的概率都为0。

　　6、必然事件与概率为1的事件。必然事件的概率一定为1，但概率为1的随机事件不一定是必然事件。对于一般情形，由P(A)=P(B)同样不能推得随机事件A等于随机事件B。

　　7、条件概率。P(A|B)表示事件B发生条件下事件A发生的概率。若“B是A的子集”，则P(A|B)=1，但P(B|A)=P(B)是不对的，只有当P(A)=1时才成立。在求二维连续型随机变量的条件概率密度函数时，一定是在边缘概率密度函数大于零时，才可使用“条件=联合/边缘”;反过来用此公式求联合概率密度函数时，也要保证边缘概率密度函数大于零。

　　8、随机变量概率密度函数。对于一维连续型随机变量，用分布函数法，先讨论概率为0和1的区间，然后反解，再讨论，最后求导。对于二维随机变量，若是连续型和离散型，用全概率公式，若是连续型和连续型同样用分布函数法，若随机变量是Z=X+Y型，用卷积公式。

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